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%%文档的题目、作者与日期
%\author{王立庆（2021级数学与应用数学1班） }
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
%\title{金融观点下的随机分析基础}
\title{第1章复习题 - 概率论基础知识}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2021 年 9 月 14 日}
%\date{March 9, 2021}

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\begin{document}

\maketitle

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\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  随机变量 $X$ 的分布，指的是什么含义？什么是分布函数？

\vspace{2.2cm}

\item  画出二项分布的分布律与分布函数的图像。

\vspace{2.2cm}

\item  画出正态分布的密度函数和分布函数的图像。

\vspace{2.2cm}

\item  按定义计算二项分布与正态分布的期望与方差。

\vspace{2.2cm}

\item  投掷一个硬币2次，正面记为1，反面记为0. 设结果为 $(X_1,X_2)$. 求这个随机向量的分布函数。 

\vspace{2.2cm}

\item  两个随机变量相互独立的含义是什么？不相关的含义是什么？

\vspace{2.2cm}

\item  证明两个随机变量如独立则一定不相关。举例说明不相关的两个随机变量不一定独立。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是随机过程？什么是随机过程的样本路径？

\vspace{2.2cm}

\item  什么是时间序列？写出一阶和二阶自回归移动平均模型。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是随机过程的有限维分布？什么是高斯过程？

\vspace{2.2cm}

\item  什么是平稳的高斯过程？

\vspace{2.2cm}

\item  画出齐次泊松过程的一些样本路径。计算齐次泊松过程的均值函数与协方差函数。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是布朗运动？画出布朗运动的一些样本路径。计算布朗运动的分布、均值函数与协方差函数。

\vspace{2.2cm}

\item  为什么说布朗运动是一种具有 0.5-自相似性质的随机过程？

\vspace{2.2cm}

\item  什么是几何布朗运动？计算几何布朗运动的均值函数与协方差函数。

\vspace{2.2cm}

\item  使用中心极限定理模拟布朗运动的样本路径。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是给定事件下的条件概率、条件分布函数与条件期望？

\vspace{2.2cm}

\item  设 $Y$ 是离散型随机变量。解释条件期望 $E(X|Y)$ 的含义。

\vspace{2.2cm}

\item  证明：如果 $X,Y$ 独立，那么有 $E(X|Y)=E(X)$.

\vspace{2.2cm}

\item  解释由事件 $A$ 生成的 $\sigma$-域。解释由离散型随机变量 $Y$ 生成的 $\sigma$-域。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是一维 Borel $\sigma$-域？

\vspace{2.2cm}

\item  什么是由随机变量 $Y$ 生成的 $\sigma$-域？什么是由随机向量 $(Y_1,Y_2)$ 生成的 $\sigma$-域？

\vspace{2.2cm}

\item  设 $\mathcal{F}$ 是一个 $\sigma$-域。解释条件期望 $E(X|\mathcal{F})$ 的含义。

\vspace{2.2cm}

\item  设 $Y$ 是一般的随机变量。解释条件期望 $E(X|Y)$ 的含义。

\vspace{2.2cm}

\item  解释条件期望运算是随机变量空间里的某种投影运算。

\vspace{2.2cm}

\item  解释一个随机过程是怎样产生一个单调递增的事件域的序列的。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是鞅过程？说明均值为零的独立随机变量序列的部分和是一个鞅过程。

\vspace{2.2cm}

\item  说明布朗运动是一个鞅过程。

\vspace{2.2cm}

\item  什么是鞅变换？

\vspace{2.2cm}

\item  说明鞅过程是公平游戏的一个模型。

\vspace{2.2cm}



\end{enumerate}

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\end{document}

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